习题 20, § 14

令n为整数，特征p的K域对n素数，拥有单位元的本原n个根，单位元的第n个根的$\mu_n \subset K^*$子群，G由有限交换群湮灭n 和 G 的 $A = K^{(G)}$ 群代数（III，p. 446）。 a) 证明 A 是可对角化的代数 (V, p. 28)。 （将G分解为循环群（VII，p. 22）的直和。）推断每个A-模是模的直和，即维数1的向量K空间。 b) 令V为K上有限维的A-模，S为向量K空间V的对称代数和S的分数的F域。群G在V上运算，因此在 S 和 F 上。假设 G 忠实地作用于 V。证明 G 忠实地在 F 上运行。 计算 [F : F^G]。 c) 令$(x_1, ..., x_r)$为G的作用特征向量的向量K空间V由……组成的基。令$\Gamma$为由$x_1, ..., x_n$生成的F*的子群。证明$\Gamma$是自由交换群，$\Gamma$生成的F的子K代数B可以与$K^{(\Gamma)}$恒等，并且在G的运算下稳定。 d) 对于所有$x \in \Gamma$，映射$\gamma \mapsto \frac{\gamma x}{x}$是将G的同态放入$\mu_n$，产生同态$0 : \Gamma \to \mathrm{Hom}(G, p.)$。证明 0 是满射。输入$\Gamma_1 = \mathrm{Ker}(0)$。使用初等除子定理 (VII, p. 24)，证明 B 是秩 Card(G) 的自由 $K^{(\Gamma_1)}$ 模。 e) 由分数的经过到域从d)和a)推出$F^G$是$K^{(\Gamma_1)}$的分数域。推论$F^G$是K的纯超越扩张。\*