习题 1, § 15

令 K 为特征 p > 0 的域，K 的 E 扩张，B 为 E 在 $K(E^p)$ (V，p. 98) 上的 p 基。 a) 假设$E \subset K^{p^{-1}}$；令 $K_0$ 为 K 的子域，使得 E 在 $K_0$ 上可分。证明集合 $B^p$ 是一个与 p 无关的子集在 $K_0(K^p)$ 上（观察如果 $(a_\lambda)$ 是向量 $K_0$-空间 $K$ 的基，那么 $(a_\lambda^p)$ 是基 $K_0(K^p)$超过$K_0$。设$C$是$K$的子集，不相交的来自$B^p$，并且$B^p \cup C$是$K$超过$K_0(K^p)$的p基； $B \cup C$ 是 $E$ 超过 $K_0(E^p)$ 的 p 基。

b) 假设$E \subset K^{p^{-n}}$和$E$在子域$K_0$或$K$上可分。证明如果$K$超过$K_n$的缺陷的次数是有限的（V，p. 170。例1），则它等于$E$超过$K_0$的缺陷的次数（使用a））。