习题 1, § 16

令 K 为特征 $p > 0$ 的域，K 的 E 可分扩张，对 K 的有限超越次数。 a) 如果存在 E 对 K 的超越基 $B_0$ 和整数 $m \geq 0$ 使得 $K(E^{p^m})$ 在 $K(B_0)$ 上可分，则证明对于 E 对 K 的每个超越基 B 都存在整数 $n \geq 0$ 使得$K(E^{p^n})$ 在 $K(B)$ 上可分。 b) 推出，如果a)中的条件成立，E承认对K的分离超越基（如果S是E对$K(E^p)$的p基，B是E对K包含S的超越基（V，p. 176，例6），证明 B 是 E 对 K 的分离超越基，使用 V、p. 176 的例 6）。 c) 令 K 为特征 $p > 0$ 的域，且 x 元素超越 K（在 K 的代数闭扩张 $\Omega$ 中）。证明 K 的扩张 $K(x^{p^{-n}})$ 的并 E 是 K 的可分扩张，使得 $\mathrm{tr.}\deg_K E = 1$ 但不承认分离超越基。 d) 设 K 为完美域。证明有理分式$K(T)$的域的完美闭包是超越次数1的K的扩张，并且不承认分离超越基。