习题 5, § 16

a) 设 K 为特征 $p > 0$ 的域，K 的 E 扩张承认 K 上的分离超越基。证明域 $K(E^{p^n})$ 的交 L，其中 $n$ 运行于 N，是一个代数K 的扩张。（首先考虑$\operatorname{tr. deg}_K E < +\infty$的情况；证明L在K上相对完美，因此E在L上可分。现在使用V、p. 176的例2和例6。一般情况下，如果B是分离超越基 E 在 K 上，对于每个 $x \in L$，有有限子集 B，B 使得每个 $K(B_0^{p^n})$ 上的 $x$ 的最小多项式与其在 $K(B)$ 上的最小多项式相同；现在推导出，如果 $F = K(B_0)(x)$，则对于所有 n 都有 $x \in K(F^{p^n})$。） b）证明E中包含的最大的完美域$E^{p^\infty}$（$E^{p^n}$的交）是$K^{p^\infty}$的代数扩张（使用a）和Ex。 8 个V、p. 176）。给出例，其中E是完美域K的有限生成的扩张，但$E^{p^\infty}$不包含在K中。