习题 11, § 3

令 E 为域 K 的扩张，$x \in E$ K 上的超越元素，使得 $K(x)$ 同构于有理分式的域 $K(T)$，且在 K 上不定。因此，每个 $y \in K(x)$ 都可以写成$y = g(x)/h(x)$，其中 g 和 h 是 $K[X]$ 的两个互素多项式 (IV，p. 12)，在 K 中确定为非零公共的因子； g 和 h 的次数中较大者称为 y 相对于 x 的高度。 a) 证明在多项式环 $K(y)[X]$ 中，如果 $y \notin K$，多项式 $g(X) - yh(X)$ 是不可约的。推断如果 y 相对于 x 的高度为$n > 0$，则$K(x)$ 是次数 $n$ $K(y)$ 的代数扩张。

令 $P(X) = \sum_{i=0}^{n} y_i X^i$ 为 $x$ 在 $K(y)$ 上的最小多项式。证明对于 $0 \leq i \leq n$，我们有 $y_i \in K$ 或 $K(y_i) = K(y)$。

b) 从a)推导出每个$y \in K(x)$使得$K(y) = K(x)$是形式$(ax + b)/(cx + d)$，其中$a, b, c, d$是$K$的元素使得$ad - bc \neq 0$； 逆命题。找出 $K(x)$ 的所有 $K$-自同构。

c) 证明如果$y \in K(x)$相对于$x$的高度为$n$，$z \in K(y)$相对于$y$的高度为$m$，则$z$相对于$x$的高度为$mn$。

\* d) 设$F$为$K$的扩张，使得$K \subset F \subset K(x)$和$F \neq K$；令$y$为$F$的元素，其高度$m$相对于$x$的高度具有最小可能的值；显示$F = K(y)$（“Liuroth 的定理”）。 （令$P$为$F[T]$中$x$的最小多项式；证明$P(T) = Q(T, x)/R(x)$，其中$Q$是$X$中次数$\geq m$的$K[T, X]$多项式，并且不能被任何非常数整除$K[X]$ 的多项式，$R$ 是 $K[X]$ 的多项式。 如果 $y = g(x)/h(x)$，其中 $g$ 和 $h$ 在 $K[X]$ 中互质，则观察到：a) 多项式 $g(T)h(X) - g(X)h(T)$ 不能被任何非常数多项式整除。 $K[T]$ 或 $K[X]$；推断出必然

其中$c \in K$，

使用Ex。 10.)