习题 12, § 3

a) 记号和假设如Ex. 11、证明对于$K$的扩张$F$使得$K \subset F \subset K(x)$使得$F \cap K[x] \neq K$，对于非常量多项式$g \in K[T]$，$F = K(y)$是充分必要的，其中$y = g(x)$；那么我们就有$K(y) \cap K[x] = K[y]$。 （写成$F = K(y)$，其中$y = g(x)/h(x)$，$g$和$h$是$K[T]$的互素多项式。如果存在一个非常数多项式$P \in K[T]$使得$P(x) \in F$，我们可以写成$P(x) = Q(y)/R(y)$，其中$Q$和$R$是$K[T]$的两个互素多项式，不都是常数，区分两种情况，根据第二种情况$R = 1$或$R$是非常数，将$Q$和$R$分解为第一个次数的因子。 $K$ 的代数闭包 $\Omega$ 并观察，如果 $a, b$ 不同于 $\Omega$ 的元素，则 $g - ah$ 和 $g - bh$ 在 $\Omega[T]$ 中互质。）

b) 如果$F = K(y)$和$y = g(x)$，其中$g \in K[T]$是非常数，我们可以假设$g(T) = Tg_1(T)$，其中$g_1 \in K[T]$。证明如果$K(xg(x)) \cap K[y] \neq K$，我们必然有$g_1(T) = aT^n$以及$a \in K$和$n > 0$。 （观察假设和a）$K[T]$中存在两个非常数多项式$P, Q$，使得$P(xg(x)) = Q(g(x)) \notin K$；推导出$K$和整数$m$中有两个元素$a, b$，使得$g(T)$除$a - bT^m$。）

c) 令$y, z$为$K[x]$中的两个元素，使得$K(y) \cap K(z) \neq K$；证明然后$K[y] \cap K[z] \neq K$。

d) 找到$y \in K(x)$使得$K(y) = K(x)$但$K[y] \cap K[x] = K$。