习题 13, § 3

令$K$为域，$P(T, X) = a_0(T)X^n + a_1(T)X^{n-1} + \ldots + a_n(T)$为$K[T, X]$的多项式；假设： 1" 多项式 $a_0$ 不能被 $T$ 整除； 2" 每个多项式 $a_1, ..., a_n$ 都能被 $T$ 整除； 3" 多项式$a_n$不能被$T^2$整除。证明在这些条件$P$下，作为$K(T)[X]$的多项式，是不可约的（通过矛盾论证，使用例10）。

\* 11) 与记号如例中所示。 11，证明如果我们取$g(X) = X$和$h(X) = X^n + X + 1 \ (n \geq 2)$，$K(x)[X]$的多项式$(g(X)h(x) - h(X)g(x))/(X-x)$是不可约的（使用例13）。

\* 15) 给出域 K 包含的例两个子域 $K_1, K_2$，使得 K 在 $K_1$ 和$K_2$ 上是代数，但在 $K_1 \cap K_2$ 上不可以。 （取$K = \mathbf{Q}(T)$、$K_1 = \mathbf{Q}(T^2)$和$K_2 = \mathbf{Q}(T^2 - T)$。验证$[K : K_1] = 2$、$[K : K_2] = 2$和$K_1 \cap K_2 = \mathbf{Q}$。为此注，$K_1 \cap K_2$的元素$f(T)$满足条件$f(-T) = f(T)$和$f(1 - T) = f(T)$。）