习题 32, § 2

设 A 为特征 0 的代数闭域。 a) A 的自同构的群 Aut(A) 中有限阶的唯一元素是阶 2 的单位元素和元素（A 的对合）；后者对应双射到A的最大有序子域E，使得$[A : E] = 2$，即$A = E(i)$（cf.Ex.31）。 如果 a 是 A 的对合且 E 是 a 的固定子域，则 E 的自同构的群 Aut(E) 与商 $Z(\sigma)/\{e, \sigma\}$ 同构，其中 $Z(\sigma)$ 是 Aut(A) 中 $\sigma$ 的中心化子。 b) 如果 A 在其素数域 Q 上是代数，则 A 的任意两个对合在 Aut(A) 中都是共轭，并且对合 a 的中心化子是 $\{e, a\}$ ； A 的对合的群 Aut(A) 和集合具有连续统的基数，Aut(A) 的中心为 $\{e\}$。 c) 如果 A 对 Q 具有有限超越次数，则证明 A 的任何对合 a 的中心化器 $Z(\sigma)$ 是可数的（观察 a 的固定子域 E 是可数的，并且固定 E 对 Q 的某个超越基的元素的 E 的任何自同构是恒等式）。 If deg . tr_QA = n, show that there exist at least n + 1 conjugacy classes of involutions of A (if E $\subset A$ is maximal orderable with $[A : E] = 2$, consider the transcendence degree over Q of the subfield of E consisting of elements fixed by Aut(E), and use Ex. 24). d) If A has infinite transcendence degree m over Q, show that there exist involutions $\sigma$ of A such that Card$(Z(\sigma)) =$ Card$(\mathrm{Aut}(A)) = 2^m$ (use Ex. 24 to show that there exist maximal orderable fields E such that deg . tr_QE = m, such that for any subset M of any transcendence basis B for E over Q, there exists an automorphism $u_M$ of E such that $u_M(x) \neq x$ for $x \in M$ and $u_M(x) = x$ for $x \in B - M$). e) If deg . tr_QA = 1, show that there is only one conjugacy class of involutions of A whose centralisers are infinite. (If E is a maximal orderable extension of Q of transcendence degree 1 such that Aut(E) is nontrivial, use Ex. 24 to show that E cannot be comparable to Q ; if t $\in E$ is infinitely large with respect to Q, show that so is $u(t)$ for any automorphism $u$ of E, and that conversely if $t'$ is infinitely large with respect to Q then there exists an automorphism $u$ of E such that $u(t) = t'$, using Ex. 15 of VI, p. 40.) f) Let $u$ be an automorphism of A which commutes with all the involutions of A. 证明如果 a $\in A$ 超越 Q，则 a 和 $u(u)$ 代数依赖于 Q。（考虑 A 的两个元素 b, c，使得 $b^2 = a, c^2 = -u(a)$ 并观察存在最大可有序扩张 E $\subset A$，使得 $[A : E] = 2$ 和 b, c 在 E 中；获得 a矛盾，注意到$u(E) = E.$） g) 从 f) 推论出 $u(a) = a$ 对于 Q 上的每个元素一个 $\in A$ 超越（考虑 A 中包含的 $\mathbf{Q}(a)$ 的最大有序扩张 E，在 $\mathbf{Q}(a)$ 上代数并且与 Q 相当，使用例 24）。 结论 u 必然是恒等式（观察到，如果 a 在 $\mathbf{Q}$ 上是代数且 $b$ 在 Q 上是超越的，则 $ab$ 在 Q 上是超越的）。