习题 28, § 1

a) 令 K 为代数闭交换域，令 f 为 K[X] 中的非常数一元多项式，令 g 为 K[X, Y] 中的多项式；假设对于 f 的每个根 α_i，存在 g(α_i, Y) = 0 的根 β_i，使得 $\frac{\partial g}{\partial Y}(\alpha_i, \beta_i) \neq 0$。然后证明存在多项式 h(X) ∈ K[X] 使得 g(X, h(X)) ≡ 0 (mod f(X))。 （使用命题 4，约化应用于 f(X) = X^m（对于某些 m ≥ 1）；注意环 K[X]/(X^m) 同构于商环 K[[X]]/(X^m)，并使用IV、p. 37)的Cor。 b) 特别证明，如果 m 整数不能被 K 的特征整除，则对于 K[X] 中互质一元多项式 f 和 f_0 的每一个对，在 K[X] 中存在一个多项式 h(X)，使得 (h(X))^m ≡ f_0(X) (mod f(X))。