习题 6, § 1

如果 A 的每个理想都是主理想，则交换环 A 称为主理想环。 a) 证明主理想环的商环和主理想环的有限乘积是主理想环。 b) 证明每个主理想环 A 是有限族$(A_i)$ 的直接乘积，主理想环的$1 \leq i \leq m$，其中单位元是唯一的非零的幂等（使用例5，b））。 c) 假设A是主理想环，其中单位元是唯一的非零的幂等，并且包含零因子不为0。证明A中存在一个不可分割的幂零元p。（使用例5，a），证明存在一个不可分割的幂零元p。 A 中元素 p ≠ 0，即零因子；适用Ex. 5 d)，然后证明 y ∈ A 的主理想 Ab 使得 yp^m ∈ Ap^{m-1} 是 A 的整体；最后应用Ex。 5、c))。 d) 根据c)中的假设和记号，假设$p^m = 0$和$p^{m'} \neq 0$。证明 $p^{m'}$ 的湮没子是 Ap （否则它将是一个主理想 Ac，其中 p ∈ Ac 且 c ∉ Ap ；利用 p 不可分的事实，推导出 c 将是可逆的）；推出，对于$1 \leq k \leq m$，$p^{m-k}$的湮没子是$Ap^k$。 结论理想的 Ap 是最大的（争论 d 的第一个断言），利用 1 − xp 对于所有 x ∈ A 在 A 中可逆的事实）。 e) 从 d) 中推导出，对于所有 x ∈ A，存在整数 k ≥ 0 和可逆元 u，使得 x = up^k，并且 A 的唯一理想是 $Ap^k$ ($0 \leq k \leq m$)（观察 A 的每个元素而非属于到 Ap 都是可逆的）。 f) 令A为主理想环，令$(x_i)$为A的元素族，令Ad为由族$(x_i)$生成的理想；表明存在 A 的元素 $x'_i$，使得对于所有 i 都有$x_i = dx'_i$，并且$\sum A x'_i = A$（约化对于 1 是 A 的唯一非零的幂等的情况）。 g) 给出 A 的主理想环的例和 A 的不可分割的元素 p，使得理想 Ap 不是最大的（使用例 5，b））。