习题 5, § 3

令$A$为主理想整环，具有唯一的最大理想$A \pi$（cf.VII，p. 48，例4）。令 $E$ 为无扭 $A$ 模，$M$ 为 $E$ 的自由子模，使得 $E/M$ 为无扭、可整除且为秩 1。令 $(e_\alpha)$ 为基 $M$，令$u$为$E/M$的非零元素，以及陪集$u$的$u$元素；对于每个整数$n > 0$，令$u_n$为$E$的元素，使得$u \equiv \pi^n u_n \pmod{M}$。输入$u = \pi^n u_n + \sum \lambda_{n\alpha} e_\alpha$。

a) 证明$M$是由$M$和$u_n$生成的，并且对于所有$\alpha$和每个整数$n > 0$生成$A_\alpha - A_{\alpha-1,\alpha} \in A n^n$（cf.例4，a））。 b) 假设在加法中，$A$相对于拓扑$\mathscr{T}$是完备的，通过将理想$A n^n$作为$A$中$0$的开邻域的基来定义（Gen.Top.， III、p. 5)；输入$A_\alpha = \lim_{n \to \infty} A_{\alpha-1,\alpha}$。证明，如果 $\mu$ 和 $\mu_\alpha$ 使得 $\mu u - \sum \mu_\alpha e_\alpha$ 属于对于所有子模 $\pi^n E$，则对于所有 $\alpha$ 必然有 $\mu_\alpha = \lambda_\alpha \mu$。