习题 13, § 4

设 A 为主理想整环，其中域为分数 K。 a) 证明，对于每个 A-模 M，典范同态 $c_{M}: M \to D(D(M))$ 是单射的（cf. II，p. 389，例 13）。 b) 如果$u: M \to N$是A-模的同态，定义自然同构从$D(\operatorname{Im}(u))$到$\operatorname{Im}(D(u))$，从$D(\operatorname{Ker}(u))$到$\operatorname{Coker}(D(u))$，以及从$D(\operatorname{Coker}(u))$到$\operatorname{Ker}(D(u))$。 c) 设M为M的A-模，N为M的子模。在Sect的记号中。 9、证明$N^{00} = N$（使用a）和b））。 模$N^{0}$有有限长度当且仅当$M/N$有有限长度。相反，对于有限长度的$D(M)$的任何子模$N'$，模${N'}^{0}$是M的子模，使得$M/N^{0}$有有限长度和$N' = {N'}^{00}$。 d) 若M为挠元A-模，且$M_{\pi}$表示M的$\tau$主成分，则证明$D(M)$与$\prod_{\pi \in P} \operatorname{Hom}(M_{\pi}, U_{\pi})$同构的，其中P为A的不可约元代表的系统，且对于每个 $\tau \in P$，$U_{\pi}$ 是 $K/A$ 的 $\tau$ 主要组件（VII、p. 54 例 3）。 e) 从 d) 推导出 $D(K/A)$ 与乘积 $\prod_{\pi \in P} \hat{A}_{(\pi)}$ 同构的，其中 $\hat{A}_{(\pi)}$ 表示 VII、p. 54 中定义的环 $A_{(\pi)}$ 的补全。 2、对于拓扑，通过将理想$\pi''A_{(\pi)}$取为0的开邻域的基来定义（该完成也可以用逆极限$\varprojlim (A/A\pi'')$来标识）。

f) 如果 M 是有限长度的 A-模，并且 a 是它的湮没子，则证明 D(M) 同构于与 M 相关的忠实 (A/a) 模的对偶。

g) 令 M 为 A-模或有限长度。证明如果 N 是 M 的子模，则存在 M 的子模 P，使得 M/N 同构于 P 并且 M/P 同构于 N（使用VII、p. 26，第 10 条命题和 VII、p. 27、第 12 条命题）；具有这些性质的 M 的两个子模称为倒数。证明，对于所有 a ∈ A，所有 x ∈ M 的 M 由……组成的子模 M(α)，使得 αx = 0 和子模 αM 是倒数。