习题 22, § 4

如果存在整数 $m \geq 0$ 且具有以下性质：则称主理想整环上的模 M 具有有限秩：每个有限生成的 M 子模都包含在由 m 元素或更少的 m 元素生成的子模中。 最小的整数 $m$ 与此性质称为M 的秩。 a) 证明如果M有有限秩，那么每个商模有有限秩，至多等于M的有限秩。 b) 对于无扭转模块 M，概念或秩的定义如上文重合以及II、p. 315 中所定义。 c) 证明如果M有有限秩，那么M的每个子模都有有限秩，至多等于M的子模。 d) 设 M 为$\pi$-主模，使得$M(\pi) = M$（在VII、p. 7 的记号中）。证明如果 M 有有限秩那么它是有限生成的。 e) 令 M 为$\pi$-主模，不存在无限高度的元素。证明如果 M 具有有限秩那么它是有限生成的，并且秩重合的概念的定义如下

前任。 8.（注意，如果$M(\pi)$是有限生成的，那么$M$也是有限生成的，通过证明，$M$中$M(\pi)$的元素的高度是有界的；使用VII、p. 55的例5来证明这一点。） f) 令$M$为有限秩$r$的$\tau$主模，并令$M_s$表示$M$中所有无限高度元素的子模由……组成。证明 $M_s$ 是可整除的模，并且直和是不可分解的子模 $U_{\pi}$ 的有限数 $p \leq r$（VII、p. 54，例 3），并且 $M$是$M_0$的直和和秩$r - p$的有限生成的子模$N$。 （请注意，$M/M_0$ 是使用 e 有限生成的）；然后应用Ex。 VII、p. 54 中的 3 个。） g) 由上推导出$A$-模块$M$有有限秩$r$当且仅当$M$的商模$M/T$通过其挠元子模$T$有有限秩$p \leq r$，并且$T$的每个$\pi$-主成分具有秩$\leq r - p$，其中至少一个具有秩$r - p$。 h) 令 $(p_n)$ 为不同素数数的序列 ；设$E$为循环$\mathbf{Z}$模$\mathbf{Z}/p_n^2\mathbf{Z}$的直和，并令$e_n$表示元素，其坐标除了第n个之外全部消失，等于3模$p_n^2$的剩余类类。令$M$为由元素$(e_n, 1/p_n)$生成的$\mathbf{Z}$模块$E \times \mathbf{Q}$的子模。证明$M$是秩2的$\mathbf{Z}$模，$M$的挠元子模$T$是由元素$(p_n e_n, 0)$生成的，$T$不是直因子共 $M$。 （如果 $\bar{x}_n$ 是 $(e_n, 1/p_n)$ mod $T$ 的类，则表明对于所有 $m \neq n$，存在类 $\bar{y}_{nm}$ mod $T$，使得 $\bar{x}_n = p_m \bar{y}_{nm}$，但不存在元素类$\bar{x}_n$中的$x_n$，使得对于所有$m \neq n$，都存在$y_n \in M$和$x_n = p_m y_{nm}$。） i) 如果$M$是有限生成的$A$模，则证明$M$的秩等于$M$的任何生成的集合的最小的基数$\gamma(M)$。 j) 设$M$为挠元$A$-有限秩的模。证明如果 $N$ 是 $M$ 的真子模，则 $N$ 不能同构于 $M$（使用 f））。