习题 2, 附录 4

保留之前的习题的记号。如果V和W是E的子空间，那么我们用$V\prec W$关系表示“W在V+W中有有限余维。”

a) 令V为E的子空间。我们用$\mathfrak{A}$（或$\mathfrak{a},\mathfrak{b}$）集合或自同态$u$或V表示$u(V)\prec V$（或$u(E)\prec V,u(V)\prec 0$）。证明$\mathfrak{A}$是End$_K$(E)的K-子代数，$\mathfrak{a}$和$\mathfrak{b}$是$\mathfrak{A}$的两侧理想，和$\mathfrak{A}$，并且我们有$\mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}\subset$End$^{pf}_K(E)$。

b) 令$u, u'$可置换元素 of $\mathfrak{A}$；我们可以将$u=a+b$和$u'=a'+b'$与$a, a'$写在$\mathfrak{a}$中，将$b, b'$写在$\mathfrak{b}$中。证明$\mathfrak{A}$属于到$\mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}$的元素$[a, a'] =aa'-a'a$，且其迹不依赖于$u$和$u'$中所选的分解；我们用$\langle u, u'\rangle$表示。

c) 设 A 为 $\mathfrak{A}$ 中的交换子代数。证明对于 A 中的所有 $u, v$，存在唯一的K-线性映射 Res$: \Omega_K(A)\rightarrow K$，使得 Res($u dv$) $=\langle u, v\rangle$（使用恒等式 $[u, vw] + [v, wu] + [w, uv] = 0$）。

d) 令 $u, v\in A$；假设$v(V)\subset V$。令 $\pi$ 为 E 的投影算子，其中像 V。证明等式 Res($u dv$) $=$ Tr[$\pi u, v]$。推断如果$u(V)\subset V$，则我们有Res$u dv= 0$（观察自同态$[\pi u, v]$有平方为零）。

e) 设 $u\in A,n\in \mathbf{N}$。证明我们有 Res $u^ndu= 0$。如果 $u$ 在 A 中可逆，那么对于 $n\geqslant 2$，我们有 Res $u^{-n}du= 0$；如果还有$u(V)\subset V$，那么我们就有Res$u^{-1}du=$暗淡$_KV/u(V)$。

f ) 取 E = K((X)) (IV, §4, No. 9, p. 38), V = K[[X]]，并令 A = E 通过同位作用于自身。证明c)的假设满足。设 $f(X) =\sum_na_nX^ndX$ 为 K((X)) 的元素。证明Res$f(X)dX$等于$a_{-1}$。推论如果$g$是K[[X]]的元素，使得$g(0) = 0$和$g'(0)\not= 0$，则$f(X)$和$f(g(X))g'(X)$的形式级数展开中$X^{-1}$的系数是一样。