习题 24, § 1

设G为群，$e$为单位元素，A为非零的交换环。用 A[G] (III, §2, No. 6, p. 446) 表示 A 上群 G 的代数。 a) 设I是有限集合，$(G_i)_{i\in I}$是G的子群族，$(g_i)_{i\in I}$是G的元素族。证明如果G是$(g_iG_i)_{i\in I}$族的并，则子群之一G 中$G_i$ 的指标是有限的。

b) 假设G中与$\{e\}$不同的每个共轭类都是无限的，并且环A是整环。证明如果$\mathfrak{a}$和$\mathfrak{b}$是环A[G]的两个非零的两侧理想，我们有$\mathfrak{a}\mathfrak{b}\not= 0$。 （选择元素$a=\sum a_gg$和$b=\sum b_gg$在$\mathfrak{a}$和$\mathfrak{b}$与$a_e\not= 0$和$b_e\not= 0$。使用a），证明，如果必要的话替换$a$与$hah^{-1}$适合$h\in G$，我们可以假设$a_gb_{g^{-1}}= 0$对于G中的每个$g\not=e$。）$*$c）证明环A[G]左（或右）阿廷的当且仅当环A是

阿廷的和群 G 是有限的。 （如果A[G]为左阿廷的，则从VIII、p. 6的定理 1 推导出群 G 有有限长度；为了证明它是有限的，约化到 A 为域且 G 为简单数时的情况群，然后使用b)和VIII、p. 173$).*$中的命题 1