习题 10, § 11

设 A 为环。用矩阵X的$\mathbf{G}\mathbf{L}(A^{(\mathbf{N})})$由……组成的$\mathbf{G}\mathbf{L}_{\infty}(A)$子群表示，使得$X-I$只有有限多个非零的条目，并用$\mathbf{G}\mathbf{L}_{\infty}(A)$的E(A)子群表示矩阵 I $+\lambda E_{ij}$，对于$\mathbf{N}$中的$i, j$，以及$i\not=j$和$\lambda \in A$；它是 $\mathbf{G}\mathbf{L}_{\infty}(A)$ 中的导出群（II, §10、p. 422、习题 15）。将商群 $\mathbf{G}\mathbf{L}_{\infty}(A)/E(A)$ 表示为 $K_1(A)$；它的群运算是相加写的。每环同态$f: A\rightarrow B$诱导群同态$f^*: K_1(A)\rightarrow K_1(B)$。

a) 对于任何整数$n\geqslant 1$，令$\iota_n:\mathbf{G}\mathbf{L}_n(A)\rightarrow K_1(A)$为同态，将$X\in \mathbf{G}\mathbf{L}_n(A)$发送到矩阵$\begin{pmatrix} X & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix}$的类。证明如果环 A 是局部的，则 $\iota_n$ 对于每个 $n$ 都是满射（使用 VIII、p. 42 的习题 17）。

b) 假设环 A 是可交换的。 构造满同态 $d_A: K_1(A)\rightarrow A^*$，使得每个$n$都有$d_A\circ \iota_n=$。此外，如果 A 是本地的或欧氏，则同态 $d_A$ 和 $\iota_1$ 是逆双射。

c) 设I为环的右有向集合、$(A_i, f_{ji})$直接系统，A为极限。证明$K_1(A)$是群$(K_1(A_i), f_{ji}^*)$直接系统极限。