习题 5, § 11

设 A 为环。用对$(n, p)$的$\mathscr{I}(A)$集合与$n$整数和$p$表示$M_n(A)$幂等。 $\mathscr{I}(A)$ 设定 $(m, p) + (n, q) = (m+n,\begin{pmatrix} p & 0 \\ 0 & q \end{pmatrix}$ 加法的定义律）。

a) 令$\mathscr{P}(A^o)$为有限生成射影右A-模的类的幺半群。令 $\varphi :\mathscr{I}(A)\rightarrow \mathscr{P}(A^o)$ 为由 $\varphi (n, p) =$ cl(Im $p$) 定义的映射。证明$\varphi$是满同态，并且$\mathscr{I}(A)$的元素、$(m, p)$和$(n, q)$与$\varphi$具有相同的像当且仅当存在$a\in M_{m,n}(A)$和$b\in$ $M_{n,m}(A)$使得$ab=p$和$ba=q$。

b) 推论群$K_0(A)$和$K_0(A^o)$同构的。