习题 8, § 11

设$A,B$、C为环、$f: A\rightarrow C$、$g: B\rightarrow C$环同态；假设 $f$ 是满射。考虑$A\times B$由……组成的子环D或对$(a, b)$，使得$f(a) =g(b)$。设 M 为 A-模，N B-模，且 $u$ 是从 $C\otimes_AM$ 到 $C\otimes_BN$ 的 C 同构。用 P 表示对 $(m, n)$ 的 $M\times N$ 由……组成的 D 子模，使得 $u(1\otimes m) = 1\otimes n$。

a) 假设模 M 和 N 承认有限基 $(e_i)_{i\in I}$ 和 $(f_j)_{j\in J}$，并且基 $(1\otimes e_i)$ 和 $(1\otimes f_j)$ 中 $u$ 的矩阵是可逆的像矩阵 $(a_{ji})$，包含 A 中的条目。证明 D-模 P 是自由的；更准确地说，是 P 的元素 $(e_i,\sum_ja_{ji}f_j)_{i\in I}$ 形式基。

b) 令$p$和$q$为整数和$X\in \mathbf{M}_{p,q}(C)$和$Y\in \mathbf{M}_{q,p}(C)$矩阵，使得XY = $I_p$且YX = $I_q$。使用恒等式证明平方矩阵 $\begin{pmatrix} X & 0 \\ 0 & Y \end{pmatrix}$ 是可逆矩阵的像，其中条目位于 A 中

=。

0 是 0 $I_q-YI_q$ 0 $I_qI_q$ 0

c) 假设模 M 和 N 是自由且有限生成的。从 a) 和 b) 推导出 D-模 P 是射影且有限生成的。

d) 假设 M 和 N 是射影且有限生成的。 构造A-模$M'$和B-模$N'$，使得$M\oplus M'$和$N\oplus N'$是自由且有限生成的，并且C模块$C\otimes_AM'$和$C\otimes_BN'$是同构的。推出 D-模 P 是射影且有限生成的。

e) 证明两个投影推导出的典范同态$A\otimes_DP\rightarrow M$和$B\otimes_DP\rightarrow N$是双射的（约化同上满足a）的条件的情况）。

f ) 相反，令 $P'$ 为有限生成的射影 D-模； 集合$M'= A\otimes_DP'$和$N'= B\otimes_DP'$，并用$u': C\otimes_AM'\rightarrow C\otimes_BN'$典范同构表示。证明典范同态从$P'$到$M'\times N'$诱导是一个D-线性同构从$P'$到D-模与$(M',N', u')$相关。

g) 用 $\varphi_0: K_0(D)\rightarrow K_0(A)\times K_0(B)$ 和 $\psi_0: K_0(A)\times K_0(B)\rightarrow K_0(C)$ 同态表示，使得

$\varphi_0([P]) = ([A\otimes_DP],[B\otimes_DP])$ 和 $\psi_0([M],[N]) = [C\otimes_AM]-[C\otimes_BN]$。

证明序列

是准确的。此外，证明如果存在环同态 $s: C\rightarrow A$ 使得 $f\circ s=$ Id$_C$，则 $\varphi_0$ 是单射的，$\psi_0$ 是满射的。