习题 9, § 11

设 A 为伪环，即结合律不一定是单位 $\mathbf{Z}$ 代数，以及 $\widetilde{A}$ 通过邻接单位元 (III, §1, No. 2, p. 431) 从 A 推导出来的 $\mathbf{Z}$ 代数； 集合 $\widetilde{A}$ 等于 $\mathbf{Z}\times A$。用$\varepsilon :\widetilde{A}\rightarrow \mathbf{Z}$表示同态$(n, a)\mapsto n$，并用$K_0(A)$表示与$\varepsilon$关联的同态$\varepsilon^*: K_0(\widetilde{A})\rightarrow K_0(\mathbf{Z})$的核。

a) 证明如果A是单位的，则$\widetilde{A}$与乘积环$\mathbf{Z}\times A$同构的，并且$K_0(A)$的定义与No.8中给出的兼容。

b) 设 A 和 B 为伪环且 $f: A\rightarrow B$ 同态。令 $\widetilde{f}:\widetilde{A}\rightarrow \widetilde{B}$ 为由 $\widetilde{f}((n, a)) = (n, f(a))$ 定义的环同态。证明$\widetilde{f}^*$映射$K_0(A)$化为$K_0(B)$。表示从 $\widetilde{f}^*$ 通过 $f^*: K_0(A)\rightarrow K_0(B)$ 推导出同态。 c) 假设$f$是满射；将其核用 $\mathfrak{a}$ 表示，并将 $\mathfrak{a}$ 的典范嵌入用 $i$ 表示到 A 中。显示序列

是准确的。此外，如果存在同态伪环$s: B\rightarrow A$使得$f\circ s=$Id$_B$，则$i^*$是单射而$f^*$是满射（通过首先取$(A,A,B)$然后$(D,\mathbf{Z},A)$来应用习题8三重$(A,B,C)$）。

d) 证明习题7和8扩展的结论对于伪环的情况。 e) 用$\mathbf{M}_{\infty}(A)$表示$\mathbf{N}\times \mathbf{N}$矩阵的伪环，其中A中的条目仅具有有限多个非零的条目。令$f: A\rightarrow \mathbf{M}_{\infty}(A)$为映射，将$a\in A$发送到矩阵$(b_{ij})$，如果$(i, j)\not= (0,0)$则为$b_{00}=a$和$b_{ij}= 0$。证明从$K_0(A)$到$K_0(\mathbf{M}_{\infty}(A))$，$f^*$是同构（使用习题4和7）。