习题 11, § 14

设 A 是可交换的整环，K 是分数的域，S Azumaya A-代数 (习题 8)。

a) 证明K-代数$S_{(K)}$是中心简单。 认同 S，子代数为 $S_{(K)}$。 b) 假设从现在起A是K的唯一A子代数有限生成A-模，$*$，即环A是全闭的，cf.Comm。阿尔格., V,

§1，第$1, 2*$。 Prove that S is maximal (for the inclusion) among the A-subalgebras of $S_{(K)}$ that are finitely generated as A-modules (apply Exercise 9, d)).

c) 此外，假设 A 是诺特并且 K-代数 $S_{(K)}$ 同构于 End$_K$(V)，其中 V 是 K 上的向量空间。证明存在没有挠元的有限生成A-模 M，使得A-代数 S 与 End$_A(M)$ 同构的（令 $x$ 为 V 的非零向量；当 $s$ 穿过 S 时，取 M 为元素 $s(x)$ 的集合）。

$*$d) 证明在前面的构造中，我们可以假设M自反(替换M

与其双）。此外，如果环 A 是正则（AC，X, §4，n$^o2$，p. 55，定义 1），则 A-模 M 是射影（应用 AC，X, §4，p. 164，练习 $12$）$.*$