习题 9, § 14

设 A 为交换环，S Azumaya A-代数 (习题 8)。

a) 证明 S 的中心（我们与 A 的认同）是 A-模 S 的直因子（使用习题 7，d））。

b) 设 M 为 $(S$, S)-双模；用元素 $m$ 的 M 由……组成的 $\mathscr{Z}(M)$ A-子模表示，使得对于每个 $s\in S$ 都有 $sm=ms$。从习题 8, a) 推出典范同态 $S\otimes_A\mathscr{Z}(M)\rightarrow M$ 是双射的。

c) The mapping $N\mapsto \mathscr{Z}(N)$ is an increasing bijection from the set of $(S$, S)-sub-bimodules of M to the set of A-submodules of $\mathscr{Z}(M)$; the inverse bijection sends an A-submodule N of $\mathscr{Z}(M)$ to the $(S$, S)-sub-bimodule SN of M. 特别地，从S的双面理想的集合到A的理想的集合，映射$\mathfrak{s}\mapsto \mathfrak{s}\cap A$是递增双射。

d) 令$\rho : S\rightarrow T$为A-代数同态，并令$S'$为$\rho (S)$在T中的交换子。证明典范同态$S\otimes_AS'\rightarrow T$是双射（将a）应用于$(S$，S）-双模T）。

e) 假设每个射影 A-模 L 使得 A 的每个最大理想 $\mathfrak{m}$ 的暗淡$_{A/\mathfrak{m}}(L/\mathfrak{m}L) = 1$ 不包含秩 1（对于例，这是当环 A 是本地或主理想整环时的情况）。证明 A-代数 S 的每个自同态 $f$ 都是内自同构（将 a) 应用于 $(S$, S)-双模 $S^f$, 利用习题 8, a) 以证明 A-模 $\mathscr{Z}(S^f)$ 是射影）。