习题 2, § 17

令 B 为交换域 K 上的有限次数 $n$ 的代数。对于 B 的任何元素 $b$，用 Pm$_{B/K}(b; X)$ 表示 $b$ 在 K 上的最小多项式 (V, §3, No. 1, p. 16)。我们有 Pm$_{B/K}(b; X) =$ Pm$_{B^o/K}(b; X)$。

a) 证明 Pm$_{B/K}(b; X)$ 除 Pc$_{B/K}(b; X)$，其中除 (Pm$_{B/K}(b; X)$)$^n$。

b) 对于 K 的每扩张 L，我们有 Pm$_{B_{(L)}/L}(1\otimes b; X) =$ Pm$_{B/K}(b; X)$。

c) 令$(e_i)_{i\in I}$为B在K上的基和$\mathbf{Y}= (Y_i)_{i\in I}$一系列变量。 代数 B 相对于基 $(e_i)$ 的主多项式，记为 $P((e_i); X;\mathbf{Y})$ 或简称为 $P(X;\mathbf{Y})$，是 $B_{(K(\mathbf{Y}))}.*$ 元素 $\sum_{i\in I}Y_ie_i$ 的$K(\mathbf{Y})$ 上的最小多项式证明属于至 $K[X;\mathbf{Y}]$（cf. AC、VII, §3、n$^o5$、p. 230、引理 1 和定理 2）。

d) 令$(e'_i)$为B在K上的另一个基和$(\lambda_{ij})$矩阵，其中K中的条目使得$e_i$=$\sum_j\lambda_{ij}e'_j$对于$i\in$I；如果我们集合 $Y'_i$ = $\sum_j\lambda_{ji}Y_j$，则$P((e_i); X;\mathbf{Y}) = P((e'_i); X;\mathbf{Y}')$。令$b=\sum_i\beta_ie_i$为B的元素；多项式 $P((e_i); X;\beta_1, . . . , \beta_n)$ 独立于选择或基 $(e_i)$；我们称之为 $b$ 在 K 上的主多项式。它除 Pc$_{B/K}(b; X)$ 并且是 Pm$_{B/K}(b; X).*$ 的倍数

e) 设$B'$为另一个K-代数/有限次数； 计算代数 $B\times B'$ 对于合适的基的主多项式。