习题 13, § 2

设 A 为不是域的局部整环（对于例 $\mathbf{Z}_{(p)}$、cf. VIII、p. 26、例 5），并令 $a$ 为非零的不可逆元素 A 的 A-模 $A^{(\mathbf{N})}$ 用 M 表示，其典范基用 $(e_n)_{n\in\mathbf{N}}$ 表示。证明序列$(f_n)_{n\in\mathbf{N}}$，其中$f_{2m}=e_{2m}$和$f_{2m+1}=e_{2m+1}+ae_{2m+2}$对于每个$m\geqslant 0$，是M在A上的基。证明M的子模$N =\sum_mA(e_{2m}+ae_{2m+1})$是直因子，但不存在子集J $\mathbf{N}$使得$\sum^{\geqslant 0}_{n\in J}Af_j$是$\mathbf{N}$的补充。推论在VIII、p. 35的推论5中，我们不能忽略了假设，即I是有限的。