习题 7, § 2

用A(分别为$\mathfrak{a}$)形式$P/(X^2+ 1)^n$有理分式集合表示，其中$n$为整数$\geqslant 0$且$P\in \mathbf{Q}[X]$为次数$\leqslant 2n$的多项式（分别$\leqslant 2n-1$）。 a) 证明 A 是域 $\mathbf{Q}(X)$ 的子环，并且 $\mathfrak{a}$ 是环 A 的理想。 b) A-模 $\mathfrak{a}\oplus \mathfrak{a}$ 和 $A\oplus A$ 同构的。 A-模 $\mathfrak{a}$ 是射影且有限生成的，但与 A 不同构。

c) 存在域$\mathbf{Q}$的二次扩张K，使得$A_{(K)}$模$\mathfrak{a}_{(K)}$和$A_{(K)}$同构的。