习题 14, § 21

如果 G 的表示是由 G 的子群的次数 1 表示诱发的表示直和，则称为单项式。

a) 假设 G 的真子群的表示是单项式的，并且 G 包含是一个非中心交换范式子群 H。证明 G 的每个忠实不可约表示都是单项式的（观察到表示的限制到 H 不是同型的，并应用习题 9，a))。

b) 推断超可解群 (I, §6, p. 146, 习题 26) 的所有表示，特别是幂零群，都是单项式的。

c) 取G为群$\mathbf{S}\mathbf{L}(2,\mathbf{F}_3)$。其中心 Z 有阶 2，群 $G/Z$ 同构于交错的群 $\mathfrak{A}_4$ (II, §10, p. 422, 习题 14, g))；特别是，G是可解的。证明它的导出群有指标 3 (cf. I, §5, p. 142, 习题 10)。利用VIII、p. 407的公式(8)，推论G承认次数2的不可约表示，并证明这个表示不是单项式。