习题 18, § 21

假设群 G 是简单的但不是循环的。 a) 证明不存在与$\{1\}$不同的共轭类，其基数是素数数的幂。 （令C为基数$p^r$与$r\geqslant 1$的类。从习题 17推导出，b）当$\lambda$与单位表示不同时，$p^{-1}\chi_{\lambda}(1)\chi_{\lambda}(C)$是$\mathbf{Z}$的整数，并利用第二个推导出矛盾正交关系为特征标）。

b) 证明 G 的阶可以被至少三个不同素数数整除（应用 a）到 G 的 Sylow 子群中中心元素 $x\not= 1$ 的共轭类）。

c) 证明有限群其阶最多可被两个不同素数数整除（“Burnside 的定理”：在群的基数上通过归纳推理，使用 b））。