习题 22, § 21

设$n$为自然数。 用严格的正整数的递减有限序列的$\mathscr{I}_n$集合和和$n$来表示。 设$p = (p_i)_{1 \leq i \leq d}$为$\mathscr{I}_n$的元素。 对于$1 \leq i \leq d$，用整数$r$的$P_i$集合表示，使得$p_1 + \cdots + p_{i-1} < r \leq p_1 + \cdots + p_i$，对于$1 \leq j \leq p_1$，用形式$p_1 + \cdots + p_{i-1} + j$的整数$P'_j$集合表示与 $1 \leq i \leq d$ 和 $p_i \geq j$。 一方面是子集$P_i$，另一方面是子集$P'_j$，$\mathbf{N}$中区间$[1, n]$的形式划分。

（我们经常用图表来表示这种情况，称为*年轻的图表*：在下面的例中，我们有$n = 9$和$p = (4, 2, 2, 1)$。集合$P_i$由第$i$行的元素和第$P'_j$组成$j$-第列。）

<table> <tr> <th>1</th> <th>2</th> <th>3</th> <th>4</th> </tr> <tr> <td>5</td> <td>6</td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>7</td> <td>8</td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>9</td> <td></td> <td></td> <td></td> </tr> </table>

令$\mathscr{P}$（或$\mathscr{P}'$）为置换$\sigma$的$\mathfrak{S}_n$由……组成的子群，使得每个$i$有$\sigma(P_i) \subset P_i$（或每个$j$有$\sigma(P'_j) \subset P'_j$）。 a) 证明我们有$\mathscr{P} \cap \mathscr{P}' = \{1\}$。 b) 设 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$。证明如果 $\operatorname{Card}(P_i \cap \sigma(P'_j)) \leq 1$ 对于每个 $i$ 和 $j$，则 $\sigma$ 属于到 $\mathscr{P} \mathscr{P}'$。推断如果 $\sigma \notin \mathscr{P} \mathscr{P}'$，则子群 $\mathscr{P} \cap \sigma \mathscr{P}' \sigma^{-1}$ 包含转置。 c) 群代数$\mathbf{Z}[\mathfrak{S}_n]$、集合

证明对于每个$\sigma \in \mathscr{P}$和$\sigma '\in \mathscr{P}'$，$c_{\mathbf{p}}$满足$e_{\sigma}c_{\mathbf{p}}e_{\sigma'}=\varepsilon (\sigma ')c_{\mathbf{p}}$，并且每个具有性质属于到$\mathbf{Z}c_{\mathbf{p}}$的元素（将元素写为$\sum n_{\sigma}e_{\sigma}$，并从b推出） $n_{\sigma}$ 是 $\sigma \notin \mathscr{P}\mathscr{P}')$ 的零。对于 $\mathbf{Z}[\mathfrak{S}_n]$、元素 $c_{\mathbf{p}}xc_{\mathbf{p}}$ 属于到 $\mathbf{Z}c_{\mathbf{p}}$ 的每个元素 $x$ 进行推断。

d) 用 A 表示 $\mathbf{Q}$-代数 $\mathbf{Q}[\mathfrak{S}_n]$。证明 A 的理想 $V_{\mathbf{p}}= Ac_{\mathbf{p}}$ 绝对是单A-模。 （观察到我们有 $c_{\mathbf{p}}V_{\mathbf{p}}\subset \mathbf{Q}c_{\mathbf{p}}$ c）。证明如果$\mathfrak{a}$是严格包含在$V_{\mathbf{p}}$中的左理想，那么我们有$c_{\mathbf{p}}\mathfrak{a}= 0$，因此有$\mathfrak{a}^2= 0$，最后有$\mathfrak{a}= 0.)$

e) 证明我们有$c^2_{\mathbf{p}}= (n$！$/[V_{\mathbf{p}}:\mathbf{Q}])c_{\mathbf{p}}$（计算A的自同态$x\mapsto xc_{\mathbf{p}}$迹）。