习题 23, § 21

保留之前的习题的记号。令$\mathbf{p}= (p_i)$和$\mathbf{q}= (q_j)$为$\mathscr{S}_n$的两个元素。

a) 假设字典中的阶为 $\mathbf{p}>\mathbf{q}$。证明对于每个$x\in A$，我们都有$a_{\mathbf{p}}xb_{\mathbf{q}}= 0$。 （约化对应于$x= 1$。请观察，如果$(P_i),(P'_j)$表示与$\mathbf{p}$相关的划分以及与$\mathbf{q}$相关的$(Q_k),(Q'_l)$，则用$s$最小的整数$n$表示，使得$p_n\not=q_n$，我们有 Card(P$_s\cap Q'_1$)$\geqslant 2$，以及构造转置$\tau$，使得$a_{\mathbf{p}}\tau =a_{\mathbf{p}}$和$\tau b_{\mathbf{q}}=-b_{\mathbf{q}}.$)

b) 推断如果$\mathbf{p}\not=\mathbf{q}$，则A-模、$V_{\mathbf{p}}$和$V_{\mathbf{q}}$不是同构（应用a），使用将$e_{\sigma}$发送到$e_{\sigma^{-1}})$的A的反自同构。

c) 证明简单地从$\mathscr{S}_n$到类发送序列$\mathbf{p}$到表示$(V_{\mathbf{p}})_{(K)}$定义双射映射到集合$\mathscr{S}_K(\mathfrak{S}_n)$ $K[\mathfrak{S}_n$]-模块。 d) 对于$\mathbf{p}\in \mathscr{S}_n$，用$\overline{p}_j=$卡(P$'_j$)(习题22)定义的$\overline{\mathbf{p}}$序列表示。 证明映射$\mathbf{p}\mapsto \overline{\mathbf{p}}$是$\mathscr{S}_n$的对合； A-模$V_{\overline{\mathbf{p}}}$与$V_{\mathbf{p}}\otimes_{\mathbf{Q}}\mathbf{Q}_{\varepsilon}$同构的，其中$\mathbf{Q}_{\varepsilon}$表示与签名关联的$\mathbf{Q}$上的一维表示。

e) 描述表示相应的至序列$(1, . . . ,1)$和$(n)$，以及序列$(n-1,1)$。