习题 24, § 21

保留习题 21 到 23 中的记号。令 $\mathbf{p}= (p_i)_{1\leqslant i\leqslant d}\in \mathscr{S}_n$；用 $\mathscr{D}_n$ 的 $\mathbf{p}$ 元素 $(p_1, . . . , p_d,0, . . . ,0)$ 表示。如果$\boldsymbol{\alpha }= (\alpha_1, . . . , \alpha_n)$是$\mathbf{N}^n$的元素使得$\sum_ii\alpha_i=n$，那么我们用$\mathfrak{S}_n$由……组成的$C_{\boldsymbol{\alpha }}$共轭类和元素的由……组成表示，它们是具有不相交的支持的循环族的乘积由……组成$\alpha_2$周期阶$2,\alpha_3$周期阶3等。

a) 证明A-模$Aa_{\mathbf{p}}$中$\mathfrak{S}_n$的表示$\rho_{\mathbf{p}}$是表示由$\mathscr{P}$的平凡表示引发。使用习题 20 推导出公式 $\chi_{\rho_{\mathbf{p}}}(C_{\boldsymbol{\alpha }}) = [f^{\boldsymbol{\alpha }}]_{\mathbf{p}}$。

b) 对于任何$\mathbf{q}\in \mathscr{S}_n$，用A-模$V_{\mathbf{q}}$中$\mathfrak{S}_n$的$\lambda_{\mathbf{q}}$表示表示。证明存在正整数$n_{\mathbf{p}\mathbf{q}}$，使得我们有$\chi_{\rho_{\mathbf{p}}}=\sum_{\mathbf{q}\in\mathscr{S}_n}n_{\mathbf{p}\mathbf{q}}\chi_{\lambda_{\mathbf{q}}}$和$n_{\mathbf{p}\mathbf{p}}>0$。

c) 设$\eta_{\mathbf{p}}$为$\mathfrak{S}_n$上的中心函数，值$\omega_{\mathbf{p}}(f^{\boldsymbol{\alpha }})$位于类$C_{\boldsymbol{\alpha }}$的元素上。证明对于具有整数系数的 $\mathbf{q}\in \mathscr{S}_n$，$\eta_{\mathbf{p}}$ 是特征标 $\chi_{\lambda_{\mathbf{q}}}$ 的线性组合（使用习题 21, c) 和 e)）。推断 $\eta_{\mathbf{p}}$ 在符号范围内等于特征标 $\chi_{\lambda_{\mathbf{q}}}$ 之一。 (计算 $\langle \eta_{\mathbf{p}}, \eta_{\mathbf{p}}\rangle$ 利用习题 21, f).) d) 推导出等式 $\chi_{\lambda_{\mathbf{p}}}(C_{\boldsymbol{\alpha }}) =$ [Δ$f^{\boldsymbol{\alpha }}]_{\mathbf{p}'}$ (“Frobenius 公式”)。

e) 证明表示$\rho_{\mathbf{q}}$中不可约表示$\lambda_{\mathbf{p}}$的重数等于$K_{\mathbf{p}\mathbf{q}}$。

f ) 证明$\lambda_{\mathbf{p}}$的次数为$\frac{n!}{\mathbf{p}!}$Δ($\mathbf{p}'$)（展开多项式Δ($\mathbf{X}$)$(\sum X_i)^n$）。