习题 26, § 21

令 $q$ 为素数数和 F 有限域与 $q$ 元素的幂；取G为群$\mathbf{G}\mathbf{L}(2,F)$。

a) 描述G的共轭类（分别区分类、包含、$1,q^2-1,q^2+q$、$q^2-q$元素中的四个型）。

b) 群 G 作用于 F 上的投影线 P；考虑 G (习题 6) 的表示 $\pi_P$。对于任何群同态$\lambda : F^*\rightarrow K^*$，用与同态$\lambda \circ$相关的次数1的$\delta_{\lambda}$表示表示，从G到$K^*$，以及集合$\pi_{\lambda}=\pi_P\otimes \delta_{\lambda}$。证明$\pi_{\lambda}$是不可约的，计算是特征标。

c) 令 B 为上三角形矩阵的 G 由……组成的子群。对于Hom(F$^*,K^*$)中的$\lambda , \mu$，用$\beta_{\lambda ,\mu}((a_{ij})) =\lambda (a_{11})\mu(a_{22})$定义的次数1的B的$\beta_{\lambda ,\mu}$表示和集合$\pi_{\lambda ,\mu}=$Ind$^G_B(\beta_{\lambda ,\mu})$表示。证明$\pi_{\lambda ,\mu}$ 对于$\lambda \not=\mu$ 是不可约的，而$\pi_{\lambda ,\lambda}$ 与$\pi_P\oplus \delta_{\lambda}$ 同构（应用习题 8）。 表示 $\pi_{\lambda ,\mu}$ 和 $\pi_{\lambda',\mu'}$ 同构当且仅当 Hom(F$^*,K^*$) 的子集 $\{\lambda , \mu\}$ 和 $\{\lambda ', \mu'\}$ 相等。

d) 令$F'$为次数2的F的扩张；选择 $F'$ 中的基而不是 F，可以得到认同 $F^{'*}$，其中 G 中的子群 = Aut$_F(F')$。令 $\varphi \in$ Hom(F$^{'*},K^*$); 计算 Ind$^G_{F^{'*}}(\varphi )$，并证明它等于 Ind$^G_{F^{'*}}(\varphi^q)$。用$\varphi$至$F^*$的$\lambda$限制和集合$\chi_{\varphi}=\chi_{\pi_P\otimes\pi_{\lambda ,1}}-\chi_{\pi_{\lambda ,1}}-$Ind$^G_{F^{'*}}(\varphi )$表示。证明如果$\varphi \not=\varphi^q$，则我们有$\langle \chi_{\varphi}, \chi_{\varphi}\rangle = 1$和$\chi_{\varphi}(1) =q-1$，因此$\chi_{\varphi}$是维数$q-1$的不可约表示$\pi_{\varphi}$的特征标。证明我们由此得到$^1_2q(q-1)$非同构不可约表示。 e) 用两个元素证明$\lambda \in$ Hom(F$^*,K^*$)$,\pi_{\lambda ,\mu}$ 对于 Hom(F$^*,K^*$) 的子集 $\{\lambda , \mu\}$ 不可约表示 $\pi_{\lambda}$，以及$\pi_{\varphi}$ $\varphi \in$ Hom(F$^{'*},K^*$) 与 $\varphi \not=\varphi^q$ 是成对非同构的，并且 G 的每个不可约表示与其中一个同构。