习题 29, § 21

保留习题 27 和 28 的假设和记号。 选择单位元 $\zeta$ 的原始$m$-th 根。令$\mathscr{O}_m$为环$\mathbf{Z}[X]/(\Phi_m)$（VIII，p. 415）；我们用$x$表示$\mathscr{O}_m$中X的类。令$\varphi :\mathscr{O}_m\rightarrow F$为将$x$发送至$\zeta$的同态。 诱导同构从$x$生成的$\mathscr{O}_m$的子群到群$\mu_m(F)$；我们用$\tau$表示逆同构。

a) 设$\pi$为G除F的线性表示，有限维$d$。对于$g\in G$，令$P_g(X) =\prod^d_{i=1}(X-\lambda_i)$为$\pi (g)$的特征多项式；用 $\mathscr{O}_m$ 的$\beta_{\pi}(g)$ 元素 $\sum_i\tau (\lambda_i)$ 表示。 所得的函数 $\beta_{\pi}: G\rightarrow \mathscr{O}_m$称为$\pi$的布劳尔特征标；对于每个$x$，我们有$\varphi \circ \beta_{\pi}=\chi_{\pi}$和$\beta_{\pi}(x) =\beta_{\pi}(x_s)$，因此$\beta_{\pi}$由其限制到$G^{reg}$决定。

b) 设 $\widehat{G}$ 为简单 F[G]-模的同构类中的集合。证明函数 $(\beta_{\lambda})_{\lambda\in\widehat{G}}$ 在 $\mathbf{Z}$ 上线性无关。 （如果存在一个非平凡的关系$\sum n_{\lambda}\beta_{\lambda}= 0$，那么我们可以假设其中一个$n_{\lambda}$与$p$素的，并应用$\varphi$得出矛盾利用习题27，f）。）

c) 令$\mathscr{B}$为函数中的集合，从$G^{reg}$到$\mathscr{O}_m$；将$\pi$的类发送到$\beta_{\pi}$的同态$R_F(G)\rightarrow \mathscr{B}$是单射的。推断两个半单 F[G]-模是同构的当且仅当它们的 Brauer 特征标相等。