习题 30, § 21

令F为特征$p >0$的代数闭域，令$\mathbf{F}_p$为F的素数子域，并令$G =\mathbf{S}\mathbf{L}_2(\mathbf{F}_p)$。用V表示F向量空间$F\otimes_{\mathbf{F}_p}\mathbf{F}^2_p$，赋予G的作用，从$\mathbf{F}^2_p$上的作用推导出来。

a) 证明 F[G]-模 $\mathsf{S}^d(V)$ 对于 $0\leqslant d < p$ 是简单的。 （令W为$\mathsf{S}^d$(V)的非零的F[G]-子模，并令$(e, f)$为V的基。使用矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$证明$e^d$属于到W，然后使用矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，W 等于 $\mathsf{S}^d(V)$。） b) 证明 F[G]-模 $\mathsf{S}^p(V)$ 并不简单（考虑 V 的像通过映射 $v\mapsto v^p$）。

c) 对于 $p\geqslant 7$，证明 $\mathsf{S}^{p-3}(V)$ 的维数不等于 G 的除阶。 d) 证明每个简单的 F[G]-模与 $0\leqslant d < p$ 的模 $\mathsf{S}^d(V)$ 之一同构（使用习题 27，f))。