习题 6, § 21

令 X 为 G 作用的有限集合。我们考虑$K^X$中G的表示$\pi$，使得$\pi (g)e_x=e_{gx}$对应于$g\in G,x\in X$（“置换表示”与X相关）。 a) 对于$g\in G$，证明$\chi_{\pi}(g)$等于$g$固定的X的点的数。 b) 证明$\pi$中单位表示的重数等于X中G的轨道的数。 c) 假设从现在开始G的作用是传递的；固定X的点$x$，并用H表示其稳定子。证明$\pi$与H的单位表示诱导的表示同构，且$\langle \chi_{\pi}, \chi_{\pi}\rangle$等于轨道的数 X 中的 H。 d) 令V为$K^X$的子空间，向量的由……组成，其中和的坐标为零；它在G下是稳定的，我们用从$\pi$推导出的V中的G的$\pi_X$表示来表示。证明 $\pi_X$ 不可约当且仅当 G 的作用具有双重传递性（I, §5、p. 143、习题 14）。