习题 19, § 5

令A为环，使得A-模$A_s$是与A-模同构的有限左理想族$(\mathfrak{I}_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$的直和。

a) 证明A中存在元素$e_{i,j}(1\leqslant i\leqslant n, 1\leqslant j\leqslant n)$族，使得$e_{i,j}e_{h,k}=\delta_{j,h}e_{i,k}$，其中$\delta_{j,h}$表示克罗内克δ函数，$\mathfrak{I}_i= Ae_{i,i}$（cf.VIII，p. 39，习题） 5 和 I, §8、p. 173、习题 12)。相反，如果在 A 中，存在$n^2$ 元素 $e_{i,j}$ 的族，使得 $e_{i,j}e_{h,k}=\delta_{j,h}e_{i,k}$ 和 $1 =\sum^n_{i=1}e_{i,i}$，则左理想 $Ae_{i,i}$ 同构为 A-模 (cf. VIII, p. 39， 习题5)。另外，如果B是与所有$e_{i,j}$交换的元素由……组成子环，则A同构于矩阵环$\mathbf{M}_n(B)$并且B同构于A-模中每一个的交换子的逆环 $Ae_{i,i}$（使用VIII、p. 78 和 VIII、p. 65，推论）。

b) 设 M 为 A-模。证明 $N_i=e_{i,i}M$ 是 B-模，并且 M（视为 B-模）是 $N_i$ 的直和；此外，B-模$N_i$是成对同构的（考虑映射$x\mapsto e_{i,1}x$和$y\mapsto e_{1,i}y$），并且$N_i$的湮没子是A中B的交和M的湮没子。相反，对于每个B-模 N，定义 A-模结构在 $n$ B-模的直和 M 上同构于 N，因此 $e_{1,1}M$ 同构于 N。

c) 对$N_1$的每个B-子模 P，分配M的A-子模$\sum^n_{i=1}e_{i,1}P$。证明这个定义是一个双射映射，从$N_1$的B-子模的集合到集合 M 的 A-子模对于包含关系来说是严格递增的。