习题 7, § 6

保留之前的假设。此外，假设给定

– 每 B-模 N A-模 G(N)，

– 对于 B-模 $v: N\rightarrow N'$ 的每个同态，有一个 A 线性同态 $G(v) : G(N)\rightarrow G(N')$，

– 每 A-模 M 同构 $\alpha_M: M\rightarrow G(F(M))$，以及

– 每 B-模 N 同构 $\beta_N: N\rightarrow F(G(N))$。

假设构造 G 具有类似于上面 (i) 到 (iii) 的性质，对于每个 A-模同态 $u: M\rightarrow M'$，我们有 $G(F(u))\circ \alpha_M=$ $\alpha_{M'}\circ u$，并且对于每个 B-模同态 $v: N\rightarrow N'$，我们有$F(G(v))\circ \beta_N=\beta_{N'}\circ v$。

a) 令M和$M'$为A-模；证明从Hom$_A(M,M')$到Hom$_B(F(M),F(M'))$同态$u\mapsto F(u)$是同构。

b) 让$f\in$Hom$_A(M,M')$；那么 $F(f)$ 是单射（或满射）当且仅当 $f$ 是（观察 $f$ 是单射当且仅当对于每个 A-模 E 和每个非零的同态 $g: E\rightarrow M$，我们有 $f\circ g\not= 0$）。

c) 设$0\rightarrow M'\rightarrow^iM\rightarrow^pM''\rightarrow 0$为正合序列/A-模；证明序列 $0\rightarrow F(M')\overset{F(i)}{\rightarrow}F(M)\overset{F(p)}{\rightarrow}F(M'')\rightarrow 0$ 是准确的。

d) 令$(M_{\alpha})_{\alpha\in I}$为A-模的族，并令M为其直和。 构造典范同构从$\oplus F(M_{\alpha})$到F(M)。

e) 令 M 为 A-模。证明 F(M) 是射影的（分别是生成的和有限生成的）当且仅当 M 是（使用 VIII、p. 92 的习题 9）。

f ) 证明$(B$，A)-双模$F(A_s)$是可逆的，并且$(A$，B)-双模$G(B_s)$是逆的。

g) 对于习题 5 中定义的每个A-模 M，同态 $\theta_M: F(A_s)\otimes_AM\rightarrow F(M)$，b) 是双射的（使用 c）和 d），通过考虑正合序列 $A^{(J)}\rightarrow A^{(I)}\rightarrow M\rightarrow 0)$。