习题 2, § 7

设 D 为 D 上的域、V 右向量空间无限维数 $\mathfrak{c}$，且 A 环 End$_D(V)$。

a) 令$u$和$v$为自同态或V，使得rg($u$)$\leqslant$rg($v$)。证明A 存在元素 $a$ 和$b$ 使得$u=avb$。

b) 对于任意无限基数$\mathfrak{n}\leqslant \mathfrak{c}$，用$\mathfrak{A}_{\mathfrak{n}}$表示秩$<\mathfrak{n}$的自同态、V的集合。证明 $\mathfrak{A}_{\mathfrak{n}}$ 是 A 的双边理想，并且 A 的每个不同于 $\{0\}$ 的双边理想和 A 都是 $\mathfrak{A}_{\mathfrak{n}}$ 之一（使用 a））。特别地，有限秩的自同态的理想是A的最小的非零的的两侧理想，而秩$<\mathfrak{c}$的自同态的理想$\mathfrak{A}_{\mathfrak{c}}=\mathfrak{T}$是与A不同的A的最大的的两侧理想。

c) 令 B 为 V 和 $\mathfrak{U}$ 的基，B 上的超滤器更细比基数 $<\mathfrak{c}$ 的 B 的子集的补集滤光器$\mathfrak{G}$。对于$\mathfrak{U}$中的任意集合 U，用V的$e_U$投影算子表示，核由U的向量生成，像由B - U的向量生成。令$\mathfrak{a}_{\mathfrak{U}}$为左理想由$e_U$生成的A，其中U穿过$\mathfrak{U}$。证明理想的$\mathfrak{T}+\mathfrak{a}_{\mathfrak{U}}$与A不同。令$\mathfrak{V}$为B 包含$\mathfrak{G}$上的另一个超滤器，并且与$\mathfrak{U}$不同。证明我们有$\mathfrak{a}_{\mathfrak{U}}+\mathfrak{a}_{\mathfrak{V}}= A$。 d) 证明B包含$\mathfrak{G}$上超滤器集合的基数为$2^{2^{\mathfrak{c}}}$。 （使用Gen. Top.的习题 6、I, §8、p. 135和Gen. Top.的I, §4、p. 126的参数。观察在后者习题中，每个非空开子集在F上的轨迹X 与 F 具有相同的基数。）

e) 假设 Card(D) $\leqslant 2^{\mathfrak{c}}$。从d)推导出简单$(A/\mathfrak{T})$模块的类集合有基数$2^{2^{\mathfrak{c}}}$(cf.VIII，p. 52，习题5，d))。

f ) 由上可知环 A 是原始的，但不是拟单，环 $A/\mathfrak{T}$ 是拟单但不是简单的 (VIII, p. 120, 注 2)。