习题 13, § 1

令 E 为有序集合。如果 E 的映射 $f$ 满足以下条件 ，则称其为*闭包*： (1) $f$ 是递增； (2) 对于每个$x \in E$，$f(x) \geqslant x$； (3) 对于每个$x \in E$，$f(f(x)) = f(x)$。令F为E的元素的集合，其在$f$下不变。

(a) 证明对于元素 $y \in F$ 的每个 $x \in E$ 集合 $F_x$，使得 $x \leqslant y$ 不为空并且至少有元素，即 $f(x)$。相反，如果 G 是 E 的子集，使得对于所有 $y \in G$ 的每个 $x \in E$、集合，使得 $x \leqslant y$ 至少有元素 $g(x)$，则 $g$ 是一个闭包，而 G 是集合 E 的元素在 $g$ 下不变。

(b) 假设E是完全格子。证明 F 属于到 F 的任意非空子集中的 E 中有下确界。

(c) 证明如果 E 是格子，则对于 E 的元素 $x, y$ 中的每个对，$f(\sup (x, y)) = f(\sup (f(x), y))$。