习题 14, § 1

设A和B为两个集合，并令R为$\mathrm{A} \times \mathrm{B}$中的任意子集。对于A的每个子集X（或B的每个子集Y），让$\rho(\mathrm{X})$（或$\sigma(\mathrm{Y})$）表示所有$y \in \mathrm{B}$（或$x \in \mathrm{A}$）的集合，使得$(x, y) \in \mathrm{R}$对于所有$x \in \mathrm{A}$ （对于所有$y \in \mathrm{B}$，分别为$(x, y) \in \mathrm{R}$）。证明$\rho$和$\sigma$是递减映射，并且映射$\mathrm{X} \to \sigma(\rho(\mathrm{X}))$和$\mathrm{Y} \to \rho(\sigma(\mathrm{Y}))$分别是$\mathfrak{P}(\mathrm{A})$和$\mathfrak{P}(\mathrm{B})$中的闭包（习题13）（按包含排序）。