习题 15, § 1

(a) 令 E 为有序集合，并且对于 E 的每个子集 X，令 $\rho(\mathrm{X})$（分别为 $\sigma(\mathrm{X})$）表示 E 中 X 的上界（分别为下界）的集合。证明，在 $\mathfrak{P}(\mathrm{E})$ 中， 子集 X的集合$\tilde{\mathrm{E}}$使得$\mathrm{X} = \sigma(\rho(\mathrm{X}))$是一个完全格，并且映射$i : x \to \sigma(\{x\})$是E的同构（称为*规范*）到$\tilde{\mathrm{E}}$的有序子集E'这样，如果一个族E 的元素 $(x_\iota)$ 在 E 中具有至少上界（分别为下确界），该至少上界（分别为下确界）中的像至少为上界（分别为下确界） $x_\iota$的像家族的$\tilde{\mathrm{E}}$。 $\tilde{\mathrm{E}}$ 被称为有序集合 E 的*完备的*。

(b) 证明，对于 E 的每个子集 X，$\sigma(\rho(\mathrm{X}))$ 是子集 $i(\mathrm{X})$ $\tilde{\mathrm{E}}$ 的$\tilde{\mathrm{E}}$ 中最小的上界。如果 $f$ 是 E 中的任意递增映射到完整格子 F 中，则 $\tilde{\mathrm{E}}$ 中存在唯一的递增映射 $\bar{f}$ 到 F 中，使得对于每个子集 Z 都有$f = \bar{f} \circ i$ 和 $\bar{f}(\sup \mathrm{Z}) = \sup (\bar{f}(\mathrm{Z}))$ $\tilde{\mathrm{E}}$。

(c) 如果 E 是全序的，则证明 $\tilde{\mathrm{E}}$ 是全序的。