习题 16, § 1

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集合论, III, 217

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

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如果格 E 满足以下两个条件，则称其为“分配性”：

(D') $\qquad \sup (x, \inf (y, z)) = \inf (\sup (x, y), \sup (x, z)),$ (D'') $\qquad \inf (x, \sup (y, z)) = \sup (\inf (x, y) \inf (x, z))$

对于 E 中的所有 $x, y, z$ 。全序集是一个分配格。

(a) 证明条件 (D), (D')分别蕴涵条件

(D) $\quad \sup (\inf (x, y), \ \inf (y, z), \ \inf (z, x))$

= \inf (\sup (x, y), \ \sup (y, z), \ \sup (z, x))

对于 E 中的所有

x, y, z

。

(b) 证明条件 (D) 蕴涵条件

(M) $\qquad$ 如果 $x \geqslant z$ ，则 $\sup (z, \inf (x, y)) = \inf (x, \sup (y, z)).$

推导出 (D) 蕴涵 (D′) 和 (D″) 中的每一个，因此三个公理 (D)、(D′) 和 (D″) 是等价的（为了证明，对于例，(D) 蕴涵 (D′)，取 $x$ 的最小上界和 (D) 的每条边，并使用 (M)）。

(T′) $\qquad\qquad \inf\,(z, \sup\,(x, y)) \leqslant \sup\,(x, \inf\,(y, z)),$ （T”） $\inf\,(\sup\,(x, y), \sup\,(z, \inf\,(x, y))) = \sup\,(\inf\,(x, y), \inf\,(y, z), \inf\,(z, x))$

对于 E 中的所有 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 对于 E 的可分配性来说是必要且充分的。（为了证明 (T′) 蕴涵 (D″)，请考虑元素

\inf\,(z, \sup\,(x, \inf\,(y, z))).)

解答

尚未写出解答。

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