习题 6, § 1

设E和F为两个有序集，并令$\mathscr{A}(\mathrm{E}, \mathrm{F})$为乘积的子集，将E的*递增*映射的集合$\mathrm{F}^{\mathrm{E}}$由……组成排序到F中。

(a) 证明如果 E、F、G 存在有序集，则有序的集合 $\mathscr{A}(\mathrm{E}, \mathrm{F} \times \mathrm{G})$ 同构于有序的乘积集合 $\mathscr{A}(\mathrm{E}, \mathrm{F}) \times \mathscr{A}(\mathrm{E}, \mathrm{G})$。

(b) 证明如果 E、F、G 是三个有序集，则有序集合 $\mathscr{A}(\mathrm{E} \times \mathrm{F}, \mathrm{G})$ 与有序集合 $\mathscr{A}(\mathrm{E}, \mathscr{A}(\mathrm{F}, \mathrm{G}))$ 同构的。

(c) 如果 $\mathrm{E} \neq \emptyset$，则 $\mathscr{A}(\mathrm{E}, \mathrm{F})$ 是格当且仅当 F 是格。

(d) 假设 E 和 F 均非空。那么当且仅当满足以下条件之一时$\mathscr{A}(\mathrm{E}, \mathrm{F})$是完全有序的：

($\alpha$) F 由单个元素组成；

($\beta$) E由单个元素组成，F是全序的；

($\gamma$) E 和 F 都是全序的，且 F 有两个元素。