习题 7, § 4

如果关系 $\sup(x,y)=a$ 隐含 $x=a$ 或 $y=a$，则格子 $E$ 的元素 $a$ 被称为“不可约”。

(a) 证明在有限格 $E$ 中，每个元素 $a$ 都可以写成 $\sup(e_1,\ldots,e_k)$，其中 $e_i$ ($1\leq i\leq k$) 是不可约的。

(b) 令$E$为有限格，令$J$为其不可约元的集合。对于每个$x\in E$，令$S(x)$为所有$y\in J$（即$\leq x$）中的集合。证明映射 $x\to S(x)$ 是 $E$ 的同构到 $\mathfrak{P}(J)$ 的子集（按包含排序），以及 $S(\inf(x,y))=S(x)\cap S(y)$。