习题 8, § 4

(a) 令 $E$ 为分配格 (§ 1, 习题 16)。如果 $a$ 在 $E$ (习题 7) 中不可约，则证明关系 $a\leq\sup(x,y)$ 蕴含 $a\leq x$ 或 $a\leq y$。

(b) 令 $E$ 为有限分配格，并令 $J$ 为其不可约元的集合，按诱导排序进行排序。证明$E$的同构$x\to S(x)$到习题7(b)中定义的$\mathfrak{P}(J)$的子集使得$S(\sup(x,y))=S(x)\cup S(y)$。推论若$J^*$是$J$赋予相反顺序的有序集合，则$E$与$J^*$的单调递增映射的集合$\mathscr{A}_0(J^*,I)$同构于$I=\{0,1\}$ （§ 1，习题6）。

(c) 根据(b)的假设，令$P$为$J$的元素中的集合，除了$E$中的最小元素。对于每个$x\in E$，令$y_1,\ldots,y_k$为$E$中区间$]x,\to[$的不同最小值元素；对于每个指标$i$，令$q_i$为$P$的元素，使得$q_i\notin S(x)$和$q_i\in S(y_i)$。证明元素 $q_1,\ldots,q_k$ 中没有两个具有可比性。

(d) 相反，令 P 的 $q_1$, ..., $q_k$ 为 $k$ 元素，其中没有两个是可比较的。设 $u = \sup{(q_1, \ldots, q_k)}$ 并设

证明 $v_i < u$ 对应 $1 \leqslant i \leqslant k$。设 $x = \inf{(v_1, \ldots, v_k)}$ 并设

证明对于每个指标 $i$ 都有 $x < y_i$，并推断出区间 $]x, \rightarrow[$ 至少有 $k$ 不同的最小值元素。