习题 13, § 6

(a) 设$w(\xi)$为序数函数符号（§2，习题17），为$\xi \geqslant \alpha_0$定义，使得关系$\alpha_0 \leqslant \xi < \xi'$隐含$w(\xi) < w(\xi')$。证明，对于每个序数 $\eta$，如果 $\xi \geqslant \alpha_0$，则$w(\xi + \eta) \geqslant w(\xi) + \eta$（矛盾论证）。推论对于所有$\xi \geqslant \alpha$，存在$\alpha$，使得$w(\xi) \geqslant \xi$（取$\alpha$为最小不可分解序数$\geqslant \alpha_0$；cf.习题 11 (a)）。

(b) 设$f(\xi, \eta)$为§2、习题17(b)中定义的序数函数符号。假设关系$\alpha_0 \leqslant \xi \leqslant \xi'$和$\alpha_0 \leqslant \eta \leqslant \eta'$隐含$g(\xi, \eta) \leqslant g(\xi', \eta')$，那么关系$\alpha_0 \leqslant \xi \leqslant \xi'$和$1 \leqslant \eta \leqslant \eta'$隐含$f(\xi, \eta) \leqslant f(\xi', \eta')$（§ 2，习题17（d））。证明对于每个序数 $\beta$，最多存在有限数个序数 $\eta$，其中方程 $f(\xi, \eta) = \beta$ 至少有一个解。 （注，如果$\xi_1$是$f(\xi, \eta_1) = \beta$中最小的解，并且如果$\xi_2$是$f(\xi, \eta_2) = \beta$中最小的解，则关系$\eta_1 < \eta_2$意味着$\xi_1 > \xi_2$。）

(c) 关于$f$的*关键序数*是任何无限序数$\gamma > \alpha_0$，使得$f(\xi, \gamma) = \gamma$对于所有$\xi$使得$\alpha_0 \leqslant \xi < \gamma$。证明一个关键序数（相对于 $f$）没有前任。如果存在集合 A 的序数，使得 $f(\xi, \gamma) = \gamma$ 对于所有 $\xi \in A$，并且如果 $\gamma$ 是 A 中最小的上界，则表明 $\gamma$ 是一个关键序数。

(d) 设$h(\xi) = f(\xi, \xi)$（为$\xi \geqslant \alpha_0$定义）。 定义感应$\alpha_1 = \alpha_0 + 2$，$\alpha_{n+1} = h(\alpha_n)$ $n \geqslant 1$。证明序列 $(\alpha_n)$ 中最小的上界是关于 $f$ 的临界序数。

(e) 证明对于$f$，每一个集合的关键序数中至少上界又是一个关键序数，并且每个关键序数都是不可分解的（注对于所有$\xi \geqslant \alpha_0$来说是$f(\xi, \eta + 1) \geqslant \omega(\xi) + \eta \geqslant \xi + \eta$）。