习题 15, § 6

令$\gamma$为序数$> 1$，对于每个序数$\alpha$，令$L(\alpha)$表示习题12 (a)中给出的$\alpha$表达式中的指数$\lambda_i$的集合。

(a) 仅当 $\alpha = 0$ 或 $\alpha$ 是关于 $\xi^\eta$ 的关键序数时，证明$\lambda_i \leqslant \alpha$ 对于每个 $\lambda_i \in L(\alpha)$，并且$\lambda_i = \alpha$ 对于这些序数之一（习题 14 (c)）。

(b) 定义 $L_n(\alpha)$ 在 $n$ 上乘以归纳，如下：$L_1(\alpha) = L(\alpha)$，并且 $L_n(\alpha)$ 是集合 $L(\beta)$ 的并，因为 $\beta$ 穿过 $L_{n-1}(\alpha)$。证明存在整数 $n_0$，使得每当 $n \geqslant n_0$ 时就有 $L_{n+1}(\alpha) = L_n(\alpha)$，并且 $L_n(\alpha)$ 的元素要么是 0，要么是关于 $\xi^\eta$ 的临界序数。 （矛盾论证：对于每个$n$，考虑元素$\beta \in L_n(\alpha)$的集合$M_n(\alpha)$使得$\beta \notin L(\beta)$，并假设$M_n(\alpha)$对于任何$n$都不为空；使用（a）获得矛盾。）