习题 18, § 6

(a) 对于每个序数$\alpha$和每个基数$\mathfrak{m} \neq 0$，我们有$\aleph_{\alpha+1}^{\mathfrak{m}} = \aleph_\alpha^{\mathfrak{m}} \cdot \aleph_{\alpha+1}$（约化对于$\mathfrak{m} < \aleph_{\alpha+1}$的情况，并将基数$\mathfrak{m}$的映射考虑到序数$\omega_{\alpha+1}$）。

(b) 从 (a) 中推出，对于每个序数 $\gamma$ 使得卡 $(\gamma) \leqslant \mathfrak{m}$，我们有 $\aleph_{\alpha+\gamma}^{\mathfrak{m}} = \aleph_\alpha^{\mathfrak{m}} \cdot \aleph_{\alpha+\gamma}^{\mathrm{Card}(\gamma)}$（由 $\gamma$ 上的超限归纳）。

(c) 从 (b) 中推出，对于每个序数 $\alpha$ 使得卡 $(\alpha) \leqslant \mathfrak{m}$，我们有 $\aleph_\alpha^{\mathfrak{m}} = 2^{\mathfrak{m}} \cdot \aleph_\alpha^{\mathrm{Card}\,(\alpha)}$。