习题 6, § 2

令$\Sigma$为结构的类，具有主要基集合A和辅助集合$k$，其泛型结构（F，H）具有典型的刻画

其公理（可以写得更明确）如下：“F 是可交换的 $k$ 代数与单位元素的结构，并且 H 是代数 A 的不可约理想”（我们记得$k$-代数 A 中的不可约理想是一个理想 $\mathfrak{a}$，这样，对于任何理想 $\mathfrak{b}$、$\mathfrak{c}$ 或满足 $\mathfrak{b} \cap \mathfrak{c} = \mathfrak{a}$、$\mathfrak{b} = \mathfrak{a}$ 或 $\mathfrak{c} = \mathfrak{a}$）。如果A，A$'$是两个集合，分别赋予类$\Sigma$的结构（F，H），（F$'$，H$'$），我们将A的定义$\sigma$态射转化为A$'$是$k$代数的同态$f$，其中映射单位元素到单位元素，以及满足$f(\mathrm{H}) \subset \mathrm{H}'$。给出集合 A 上类 $\Sigma$ 结构 $(\mathscr{S}_\lambda)$ 的例，使得结构的该族至少存在上界（在结构的有序集合中） A 上的类 $\Sigma$，但这样至少上界不是家庭 $(\mathrm{A}_\lambda, \mathscr{S}_\lambda, \mathrm{Id}_\lambda)$ 的初始结构，其中 $\mathrm{A}_\lambda$ 是集合 A 赋予了结构 $\mathscr{S}_\lambda$，并且 $\mathrm{Id}_\lambda$ 是恒等映射$\mathrm{A} \to \mathrm{A}_\lambda$。 （考虑多项式环$\mathrm{A} = k[\mathrm{T}]$：A中的不可约理想是最大理想的幂。如果F是A的$k$代数结构，则考虑A的两个结构$(\mathrm{F}, \mathfrak{p}_1)$和$(\mathrm{F}, \mathfrak{p}_2)$ 类 $\Sigma$，其中 $\mathfrak{p}_1$、$\mathfrak{p}_2$ 是 A 的不同极大理想；表明这两个结构中的最小上界是 (F, (0))，但这不是所讨论的族的初始结构要证明这一点。 A 的$k$-子代数$\mathrm{B} = k + (\mathfrak{p}_1 \cap \mathfrak{p}_2)$，其中$\mathfrak{p}_1 \cap \mathfrak{p}_2$是最大理想，单射$\mathrm{B} \to \mathrm{A}$。）

¶ 还给出结构 $\Sigma'$ 的类的例，以及集合 A$'$ 上的类 $\Sigma'$ 的结构族$(\mathscr{S}'_\lambda)$，使得该族的下确界结构存在，但不是家庭的最终结构。 （对于 A 的对偶（视为向量空间），考虑通过转置从 A 的 $k$-代数结构推导出来的线性紧凑 $k$-余代数的结构，以及通过转置推导出的定义结构种 $\Sigma'$。）