习题 14, § 1

设 K 为豪斯多夫拓扑划分环，$(E_\iota)_{\iota \in I}$ K 上豪斯多夫拓扑向量空间的*无限*族，其中没有一个是单个点 0。我们考虑$F = \prod_{\iota \in I} E_\iota$拓扑$\mathscr{T}$，与加法群兼容F 的结构，其中 0 的邻域的基本系统由乘积 $\prod_{\iota \in I} V_\iota$ 形成，其中，对于 each $\iota \in I$，集合 $V_\iota$ 是 E 中 0 的邻域（这个拓扑是严格更细乘积拓扑；*cf.* GT，III, § 2，锻炼 23)。我们用F的子空间$E = \bigoplus_{\iota \in I} E_\iota$上的$\mathscr{T}$诱导$\mathscr{T}_0$拓扑表示；对于拓扑 $\mathscr{T}$，E 在 F 中是封闭的，如果 $E_\iota$ 中的每一个都完整，则 F 对于拓扑 $\mathscr{T}$ 是完整的，因此 E 对于拓扑 $\mathscr{T}_0$ 是完整的（GT，III, § 3，练习 10）。 a) 证明如果存在右界为 0 的 K 邻域 (GT, III, § 6, 执行 12)（特别是如果 K 是带有估值的除环），拓扑 $\mathscr{T}_0$ 与 E 的向量空间结构兼容。如果进一步，K 是不是离散的，那么对于任何更细大于 $\mathscr{T}_0$ 且与 E 的向量空间结构兼容的拓扑，E 不是 Baire 空间。 b) 此外，如果 K 中不存在任何以右为界的 0 邻域（参见 c）），则给出 $(E_\iota)$ 系列的例，使得拓扑 $\mathscr{T}_0$ 与 E 的向量空间结构不兼容。 c) 令$A = \mathbf{R}[X]$ 为$\mathbf{R}$ 上一个变量的多项式的环。对于实数 $> 0$ 的每个序列 $s = (\varepsilon_n)_{n \geq 0}$，用多项式 $\sum_k a_k X^k \in A$ 的$V_s$ 集合表示，使得$|a_k| < \varepsilon_k$ 对于所有 k。将$\mathfrak{T}$设为$V_s$的集合，其中s在数$> 0$的序列的集合变化。证明$\mathfrak{T}$是0的对称邻域的基本系统，因为拓扑与A的环结构兼容。设$K = \mathbf{R}(X)$为A的分数除环；用$\mathfrak{S}$表示形式$U(1 + U)^{-1}$的K的子集族，其中U在$V_s$的集合变化而不是包含1；表明$\mathfrak{S}$是拓扑的0的邻域的基本系统与K的除法环结构兼容，并且K中不存在任何有界的0的邻域。

d) 对于每个 Hausdorff 拓扑划分环 K，证明存在集合 I，使得在 F = K^I 上，上面定义的拓扑 $\mathscr{T}$ 与 F 的向量空间结构不兼容。