习题 11, § 2

a) 证明，在空间$\mathbf{R}^n$中，维数$n$包含的每个凸集合A至少有一个内部点（考虑A的$n + 1$点的仿射独立系统）。推断如果 A 在 $\mathbf{R}^n$ 中处处稠密，则 $A = \mathbf{R}^n$ 中。 b) 令E为实数$x = (\xi_n)$绝对收敛级数的赋范空间$l^1(\mathbf{N})$(I,p. 4);表明 $x$ 的集合 P，使得对于每个指标 $n$，$\xi_n \geq 0$ 是一个真凸锥体，其中生成 E 但不包含包含任何内部点。 c) 设 E 为豪斯多夫拓扑向量空间，其上存在不连续线性形式 $f$ (cf. II, p. 86，练习 17, a))。证明由关系 f(x) \geqslant 0,\ f(x) < 0\text{ 定义的集合 A 和 B 是凸的、非空的、互补的、处处稠密的，并且它们每个都生成 E （代数上）。}