习题 13, § 6

设$E$为向量空间。我们说$E$上的Hausdorff局部凸拓扑$\mathscr{T}$是*最小*（并且$E$，与$\mathscr{T}$，是空间*最小型*）如果$E$上不存在Hausdorff局部凸拓扑，那么严格比 $\mathscr{T}$ 更粗糙（*cf.* II、p. 81，练习 1）。 *a) 令$\mathscr{T}$为$E$上的最小拓扑，并令$E'$为$E$的对偶（当$E$有拓扑$\mathscr{T}$时）；证明$\mathscr{T} = \sigma(E, E')$和$E = {E'}^*$（注使用II、p. 43的相关3，对于拓扑$\sigma(E', E)$，在$E'$中存在不能处处稠密的超平面）。推断出最小型中的空间是乘积行。 *b) 证明在 Hausdorff 局部凸空间 $F$ 中，最小型的每个子空间 $E$ 都有一个拓扑补集，特别是闭集（使用 a）和 Hahn-Banach th。将$E$的恒等映射本身扩展到$E$中的$F$的映射。 *c) 令 $u$ 为 Hausdorff 局部凸空间 $F$ 中最小型的空间 $E$ 的连续线性映射。证明 $u(E)$ 在 $F$ 中闭合，并且$u$ 是 $F$ 中 $E$ 的严格态射（使用 b）以及最小型的空间的定义）。 d) 令$F$为Hausdorff局部凸空间，$M$为$F$的闭向量子空间。证明，如果$F$中存在$M$的补集$N$，即最小型的子空间，则$N$是$F$中$M$的拓扑补集（使用c*）。 e) 令 $M$ 为 Hausdorff 局部凸空间 $F$ 中最小型的子空间；表明，对于$F$和$M + N$的每个闭向量子空间$N$在$F$中闭（考虑商空间$F/N$并使用c*）。如果进一步$N$是最小型，则$M + N$是最小型。